鮮やかな伏線回収だったので紹介したくなった(こんなブログですが、ポケモン要素はありません。)
https://www.toshin.com/center/sp/sugaku-1a_mondai_4.html
↑問題
以下答案。重要項目と答えは太字
(1)
49x-23y=1を満たす整数x,yの組のうち、xが最小のものは
49≡3(mod23)より、
49x≡1をみたす最小のxは8
(49×8≡3×8=24≡1と処理)
49×8=392
391÷23=17
という流れで(x,y)=(8,17)を導ける。
一般解はこれに49k,23kを付けるだけでOK(互いに素かのチェックは記述なら注意)なので、x=23k+8 y=49k+17
(2)
49の倍数Aと23の倍数Bがあり、AとBの差の絶対値が1となる
つまりさっきのmodでの考えがそのまま流用される。
解答欄的にA=49×[1桁] 8は先程の答えから候補になり、1〜7は先程潰したので、9が成り立たないことさえ確認すれば確定で8だと言える。
ここで8と確定すれば、B=23×[2桁]も勝手に17へ。
次に、AとBの差の絶対値が2となる場合も考察。
第1に思いつくズルが両辺に×2であるが、A=49×[1桁]より、16では成り立たず却下。
先程のmodの考えでいこう。
49xは、x=1,2,3,…と刻むたび、23で割った余りは3,6,9,…と刻まれる。
これが23の倍数と差2になる、つまり初めて21or25を踏むのはいつか、と考える。
余裕でx=7を発見でき、A=49×7
49×7=343
343÷23=14あまり21
23×15=345 みたいな計算で、B=23×15が発見できる。
つまり、差が2の範囲内で最小のペアは、(49×7,23×15)=(343,345)
(3)
aとa+1の最大公約数は1
a+1とa+2の最大公約数は1
aとa+2の最大公約数は1か2
どの命題も互除法で1発でわかる。
「a(a+1)(a+2)は、aに依らず必ずmの倍数」→m=6
隣接3自然数は必ずどれかが3の倍数で、1個or2個は偶数なので。7以上でない保証がほしい？ aに1代入してみろよ
(4)
シュタゲもびっくりの伏線回収編。
まずは素因数分解。
6762=2×3×7×7×23
b(b+1)(b+2)が6762の倍数ってことは、6762の約数たる"2,3,7が2個,23"は少なくともb(b+1)(b+2)のどこかに含むわけだ。
さて、7の倍数はbと(b+1)と(b+2)のうちどれか1つしかないのだから、つまりソイツは7×7、つまり49の倍数である。
また一方で、bと(b+1)と(b+2)のうちどれか1つは23の倍数である。
49…23………見覚えがあるな。
残りの素因数は2と3だが、(3)より、b(b+1)(b+2)は確定で6の倍数だから無視して構わない。
さあ、最後だ。
bと(b+1)と(b+2)の3数は、一番離れようが2数の差は2である。
差が2の範囲内で、49の倍数と23の倍数が入るなんて、そんなのワザワザ求めたら時間めちゃ食うじゃないk………
†(2)の最後でお前が求めたのは何だ†
A.「差が2の範囲内で最小のペアは、(49×7,23×15)=(343,345)」
というわけでb=343
